Matematigu Ruleet · Jëfandikoo · 13 simili

Ragalu Yàqu Xaalisu Fo

Q: Ndax yokkute dafay wàññi ragalu yàqu xaalisu fo?

Martingale dafay wàññi ko ci diiru fo yu gàtt te dafay yokk ko lool ci yu gudd. Pari ak xaalis bu yem ak cër bu gën a mag mooy yoon wu jub ngir wàññi ko.

Mën-mënu am ñàkk sa xaalisu fo bépp balaa nga agsi ci sa jubluwaay.

Tontu bu gàtt

Ngir pari benn ci benn, ragalu yàqu xaalisu fo dafay topp formilu gambler’s ruin. Ak $500 ci xaalisu fo, pari yu $10 ak jubluwaay bu $600, dinga agsi ci jubluwaay bi lu tollu ci 57% ci yoon yi te yàqu ci li des.

formil

gambler’s ruin

p (pari benn ci benn)

18/37

q/p

1,0556

njureef bu gën a màggat

Pascal–Fermat, 1656

Laaj bi

Am nga a cërxaalisCërXaalisu pari bu njëkk bi doxalin walla fowkat di jëfandikoo. Yokkute yi ci cër lañu leen di wax ngir ñu mën a jëfe ci bépp taabal.Jàng lépp → ci xaalisu foxaalisXaalisu foMboolem xaalis bi ñu wàccal fo. Saytu xaalisu fo mooy tànn ñaata ci nga mën a sànk ci pari bu nekk ak ci diiru fo bu nekk.Jàng lépp → te bëgg nga agsi ci a + b cër, di teg benn cër yoon wu nekk ci pari benn ci bennpariPari benn ci bennXonq/ñuul, dul ñaar-ñaar/ñaar-ñaar, kaw/suuf. 18 nimero, dafay fey 1:1.Jàng lépp → ak mën-mënu ammatematigMën-mënu amMën-mënu am benn njureef, dale ko ci 0 ba 1 walla 0% ba 100%. Benn nimero: 1/37 = 2,70%.Jàng lépp → gañ p = 18/37 ak mën-mënu am ñàkk q = 19/37. Lan mooy mën-mënu nga agsi ci jubluwaay bi balaa nga agsi ci seero? Pascal, Fermat ak Huygens ñoo ko xayma ci atum 1650 yi, te benn la ci njureef yi gën a màggat ci mën-mënu am.

Blaise Pascal: Léebu Wëndelukaayu Ruleet

Formilu gambler’s ruin

P(agsi ci jubluwaay) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Ragalu yàqu xaalisu fomatematigRagalu yàqu xaalisu foMën-mënu am ñàkk xaalisu fo bépp laata nga jot ci benn jubluwaay walla benn limu wëndelu.Jàng lépp → mooy benn wàññi loolu. Ak q/p = 19/18 ≈ 1,0556, diir bi dafay yokku ci yoon wu exponential ci limu cër yi, kon formil bi dafay mbugal cër yu tuuti lool: lu pari yi ngir agsi ci jubluwaay bi gën a bare, lu yoon yi ñuy fey 2,70% ci yoon wi gën a bare.

xaalisu focërjubluwaaypari ba jubluwaayp(agsi ci jubluwaay)ragalu yàqu xaalisu fo

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1.00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1.0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1.000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Pari benn ci benn, xaalisu pari bu yem, amul la partage. Masinu Waññ Ragalu Yàqu Xaalisu Fo dafay def xayma bi ngir lim yu mu mën a doon.

Ni ñuy jànge

Cër yu tuuti dañuy metti. Jéem a ñaaral $500 ak pari yu $10 dafay am ndam 6% ci yoon yi; ak benn pari bu $500 dafay am ndam 48,6% ci yoon yi. Fo bu fit, pari yu néew te gën a mag, dafay yokk ba fu mu mën a yem mën-mënu agsi ci jubluwaay ci fo bu njëg gi ñu séentu ñàkk la, ndax dafay wàññi limu yoon yi njariñ bi di dox. Dafay yokk itam tasaaroob njureefmatematigTasaaroob NjureefNatt bu wone ni njureef yi tasaaroo ci wetu njëg gi ñu séentu. Dafa kawe ci straight up, suufe ci pari benn ci benn.Jàng lépp → ci li lay dal, te dafay jeexal guddi gi ci gaaw. Teoreem bi ñu ngi koy wooye “fo bu fit moo gën” te Dubins ak Savage ñoo ko firnde ci 1965.

Mën-mënu soppi $500 $1.000 ci xonq%

benn pari bu $500

48,6%

pari yu $100

≈ 43%

pari yu $50

≈ 37%

pari yu $20

≈ 21%

pari yu $10

≈ 6%

pari yu $5

≈ 0,5%

024,3048,6%

Lu pari yi gën a bare, lu ñuy fey njariñ bi gën a bare. Fo bu ragal dafa jafe.

Fu jafe-jafe bi tàmbalee

Laaj bi dafa gën a màggat ruleet. Ci 1656, Pascal jox na Fermat benn jafe-jafe: ñaari fowkat dañuy sànni ñetti dé, ku nekk tàmbali ak 12 jetoŋ; sànni bu 11 dafay jàll benn jetoŋ ci benn wàll, sànni bu 14 ci beneen wàll bi. Ñoom ñaar ñépp feeñal nañu ko, te Huygens, mi ko dégg ci benn bataaxal bu boroom xam-xamu lim Pierre de Carcavi, móol na ko ci 1657 ni jafe-jafe bu juróomeel ci téere bu njëkk bi ci mën-mënu am, ak tontu bi te amul firnde. Fukk ak benn mën nañu ko sànni ci 27 yoon te fukk ak ñeent ci 15 rekk, kon jetoŋ bu nekk dafay jëm ci wàllu fowkat bu njëkk bi 9 yoon ci 14, te formil bi ci kaw, ak 12 jetoŋ ku nekk, dafay tax mu am lu tollu ci 1.157 yoon mën-mën ngir gañ lépp ci ñàkk lépp. Njariñ bu 2,70% dafa gën a tuuti lool, waaye formil boobu dafay wone li muy def ci ay pari yu bare.

Ci jafe-jafe bu Pascal, sànni bu nekk ci ñetti dé dafay jàllale benn jetoŋ ci diggante fowkat yi.

Benn pari bu fit bu dëgg

Ci Awril 2004, Ashley Revell, benn waxambaane bu Àngalteer, jaay na lu jege lépp lu mu am, ba ci ay yéreem, te yóbbu $135.300 ci Plaza ci Las Vegas. Ginaaw ay pari yu tuuti, dafa teg xaalis bi bépp ci xonqpariXonqPari benn ci benn ci 18 nimero yu xonq yi. Ci Farañse: rouge.Jàng lépp →, benn yoon. BaljumtukaayBalBal bu tuuti bi ñuy sànni ci yoon wi, safaanook rotor bi. Bal yu tey ivorine walla Teflon lañu, 18–21 mm.Jàng lépp → bi daanu ci xonq 7 te mu génn ak $270.600. Ci wëndelukaay bu ñaari seerowëndelukaaySeeroBenn pax bu wert bi benn pari benn ci benn, dosen walla kolon du làmboo; mooy cosaanu njariñu kaasino. Ñu koy wax itam: benn seero, 0.Jàng lépp →, wëndelu boobu mën-mën bu 47,37% la woon te dafa ko jar $7.121 ci diggante, njariñ bu 5,26% bi ci benn pari. Bu ñu ko tasaaree ci pari yu $10, jubluwaay boobu dina jege lu amul yaakaar. Fo bu fit du tax pari bi baax; dafay tax mu gàtt ba fu mu mën a yem.

Xaalisu fo bu Ashley Revell bépp ci benn wëndelu ci wëndelukaay bu ñaari seero la nekk.

Ragalu yàqu xaalisu fo bu amul jubluwaay

Su nga foo rekk ba yàqu walla nga taxaw ginaaw N wëndelu, laaj bi dafay doon “lan mooy mën-mënu sama xaalisu fo laal seero ci biir N wëndelu?”. Amul benn formil bu tëju ngir N bu nekk, waaye simulaatëer yi ci bérab bii dañu koy xayma: xaalisu fo bu $500 ak $10 ci xonq lu jege du yàqu mukk ci 100 wëndelu (ci suufu 1%), dafay yàqu lu tollu ci 9% ci yoon yi ci 500 wëndelu, te lu tollu ci 95% ci yoon yi ci 5.000. Bu amul sàrtu taxaw, mën-mënu am bi dafay jëm ci 100%, te loolu mooy njariñu kaasinomatematigNjariñu kaasinoPàcc bi ci xaalisu pari bu nekk bi kaasino bi di denc ci diggante: 2,70% ci ruleetu Tugal.Jàng lépp → ci diir bu gudd.

Fukki diiru fo, $500 ci xaalisu fo, $25 ci xonq, 200 wëndelunjureef ak li nga tàmbalee

1.000 diiru fo × 500 wëndelu · bulo p10/p25/p75/p90, bulo bu woyof digg, 81 misaal yu woyof · jaarale kursëer bi ci grafik bi ngir gis kuwantil yi ci benn wëndelu

p10 −$500
p25 −$500
digg −$500
p75 +$0
p90 +$350

1.000 diiru fo × 500 wëndelu · rëddu y dañu ko dog ci 1eel–99eelu persantil (catam yi −$500 ba +$1.500) · 500 wëndelu · $25 pari bu njëkk · pari benn ci benn

Rëdd yi laal suuf si, yàqu nañu. Ak cër bu gën a tuuti dinañu gën a yàgg te jeex ci benn bérab bi.

Jege ci Yàgg: Yoonu Lim yu Mag yi ci Ruleet

Ba kañ, te ba ci ban gañ

Ñaari njureef yu cosaan yu des dañuy tontu ay laaj yu fowkat yi di laaj dëgg-dëgg. Bu amul jubluwaay, pari benn ci benn ak xaalis bu yem dañuy yàgg, ci diggante, 37 wëndelu ci cër bu nekk ci xaalisu fo ci wëndelukaayu Tugal te 19 ci bu Amerig, ndax wëndelu wu nekk dafay jël 1/37 ci cër ci diggante (1/19 ci wëndelukaayu Amerig): 100 cër dañuy yàgg 3.700 wëndelu ci diggante, waaye genn-wàllu diiru fo yu ni mel dañuy jeex ci biir 3.134 (xoolal Guddaayu Diiru Fo ak Njëgam). Te lu xaalisu fo bi mën a mag, mën-mënu am ci wëndelukaayu Tugal ngir mës a gañ k cër mooy (18/19)ᵏ. Loolu 95% la ngir benn cër te 58% ngir fukk, waaye amul benn xaalisu fo, lu mu mën a xóot, bu jox mën-mën bu yem ngir mës a gañ 13 cër; ci wëndelukaayu Amerig, mën-mën bi (9/10)ᵏ la te dafay wàcc ci suufu genn-wàll ci 7 cër.

cër yu ñu gañ, ci saa su mu mën a doonTugalAmerig

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Pari benn ci benn, xaalisu pari bu yem, xaalisu fo bu mag ba du jeex mukk. Mën-mën bi (18/19)ᵏ la ci wëndelukaay bu benn seero te (9/10)ᵏ ci bu ñaari seero.

Guddaayu Diiru Fo ak Njëgam Wëndelukaay ak Sàrti Ruleetu Amerig

Xaalisu fo ngir mën-mën bu genn-wàll ci genn-wàll

Wëlbatil laaj bi: ñaata nga war a indi ngir am mën-mën bu genn-wàll ci genn-wàll lu mu néew-néew ngir gañ benn xaalis bu nga tànn balaa nga ñàkk lépp? Ngir gañ gu tuuti, du lu bare. Ngir gañ gu gën a mag, xaalisu fo bi ñu soxla dafay yéeg lool, te bu weesoo benn bérab, amul benn xaalisu fo bu doy, ndax xaalisu fo bu amul dig sax dafay jox mën-mën bu gën a tuuti genn-wàll ci genn-wàll ngir mës a gañ ba noonu. Taylor (2021) wax na ko ci beneen yoon: ci wëndelukaayu Amerig, ngir am mën-mën bu genn-wàll ci genn-wàll ngir agsi ci 100 cër, fàww nga tàmbali ak 94, di jéem 94 ngir gañ 6. Ci wëndelukaayu Tugal, 88 lay laaj.

ngir gañTugalAmerig

1 cër22

2 cër33

3 cër45

4 cër68

5 cër712

6 cër921

7 cër12amul benn xaalisu fo bu doy

8 cër15amul benn xaalisu fo bu doy

10 cër24amul benn xaalisu fo bu doy

12 cër46amul benn xaalisu fo bu doy

13 cër walla lu ëppamul benn xaalisu fo bu doyamul benn xaalisu fo bu doy

Xaalisu fo bi gën a tuuti, ci cër, buy jox mën-mën bu genn-wàll ci genn-wàll lu mu néew-néew ngir gañ xaalis bi balaa ñàkk xaalisu fo bi, ak pari benn ci benn ak xaalis bu yem. Sunu xayma la, jóge ci formil bi ci kaw.

Njàngale mi ci jëf

Dogalal lan nga bëgg a def. Su jubluwaay bi benn gañ gu wóor la, tegal pari yu mag te néew. Su jubluwaay bi benn guddi gu gudd la, tegal pari yu tuuti te nangu ne njariñ bi dina jël 2,70% ci mboolem parixaalisMboolem pariMboolem xaalis bi ñu teg ci pari ci benn diiru fo walla benn diir, ak gañ yi ñu dellu teg. Ñu koy wax itam: handle, action.Jàng lépp → bu mag. Su ñaar yépp nga bëgg, fàww benn bàyyi, te ci lu ëpp jubluwaay bi la.

Formil

P(jubluwaay) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

ragalu yàqu xaalisu fo = 1 − P(jubluwaay)

q/p = 19/18 ngir pari benn ci benn

wëndelu yu digg ba yàqu, amul jubluwaay = 37 × cër

P(mës a gañ k cër) = (18/19)ᵏ

Laaj yi

Ndax yokkute dafay wàññi ragalu yàqu xaalisu fo?

Martingalepexe pariMartingaleYokkute buy ful pari bi ñaari yoon ginnaaw ñàkk bu nekk. Xoolal xëtu Pexe Pari ngir xam li mu def ak li mu dul def.Jàng lépp → dafay wàññi ko ci diiru fo yu gàtt te dafay yokk ko lool ci yu gudd. Pari ak xaalis bu yempexe pariPari ak xaalis bu yemTeg benn xaalis bi ci wëndelu wu nekk. Mooy natt bi ñuy méngale ak bépp yokkute.Jàng lépp → ak cër bu gën a mag mooy yoon wu jub ngir wàññi ko.

Lu jëm ci pari yu straight up nag?

Formil bi ci kaw, ngir pari benn ci benn la. Ngir pari yu am tasaaroob njureef bu kawe, yàqu bi dafa gën a mën a am ak xaalisu pari yu tuuti te jubluwaay bi dañu koy agsi ci yoon wu gën a jaxasoo; jëfandikool masinu waññ bi.

Lu tax q/p mooy lim bi gën a am solo?

Jéego bu nekk bu jëm ci jubluwaay bi dafa gën a néew tuuti mën-mën ci jéego bu nekk bu jëm ci yàqu; diir bi dafay bokkaalewu ci limu jéego yi.

Mbégte ak Matematig

Jéemal leen ci sa bopp balaa ngay xool tontu yi. Tontu bu nekk dafa làqu; ubbil ko bu nga waajee.

Am nga $100 te bëgg nga $1.000, di teg pari ci xonqpariXonqPari benn ci benn ci 18 nimero yu xonq yi. Ci Farañse: rouge.Jàng lépp → rekk. Pexe bu njëkk: tegal $1 yoon wu nekk. Pexe bu ñaareel: tegal lépp li nga am ba nga weesu $500, ginaaw ga li doy rekk ngir agsi ci $1.000. Ban pexe moo gën, te ñaata?
Wone tontu bi
Tontu Pexe bu ñaareel bi, ci lu sore. Dafay agsi ci $1.000 lu tollu ci 9,0% ci yoon yi, jege 10% bu jub bi. Pexe bu njëkk bi dafay am ndam lu tollu ci 7 yoon ci 10²².
Ci fo bu jubmatematigFo bu jubFo bu kenn ci ñaari wet yi amul njariñ: pari bu nekk am na njëg gi ñu séentu bu seero.Jàng lépp →, dinga agsi ci $1.000 jóge ci $100 benn yoon ci fukk lu mu mën a doon lu nga def, ndax njëg gu digg gu sa xaalis dafay des ci $100.
Njariñ bi dafay jël 2,70% ci pari bu nekk, kon lu mboolem li nga teg gën a tuuti, lu nga gën a jege benn ci fukk. Pexe bu ñaareel bi dafay dogal mbir mi ci ay pari yu néew: $100 dafay doon $200, $400, $800, ginaaw ga $200 doy na. Dafay am ndam lu tollu ci 9,0% ci yoon yi. Pexe bu njëkk bi dafay laaj ay junniy pari balaa doxin wi di jeex, te njariñ bi, bu tuuti ci ku nekk ci ñoom, dafay boolewu ba jege yàqu bu wóor.
Loolu mooy njureefu Dubins–Savage ci melokaanam bu gën a yomb (Epstein, 2013): ci fo bu jeng ci kaasino bi, tegal li nga soxla, ci yoon yu néew ni nga mën.
Am nga $500 te bëgg nga $1.000, te dinga taxaw bu nga ko amee rekk. Dangay tànn benn xeetu pari te dellu ci ba mu gañ benn yoon walla xaalis bi jeex. Ban xeet moo gën a jox mën-mën?
Wone tontu bi
Tontu Benn pari bu $500 ci xonq: 48,6%. Pexe bu nekk buy tasaare xaalis bi ci pari yu gën a tuuti dafa gën a bon.
Tànnal xaalisu pari bu nekk ba benn gañ doy: $30 ci straight uppariStraight upBenn nimero rekk, dafay fey 35:1.Jàng lépp → (benn nimero) dafay gañ $1.050, $60 ci splitpariSplitÑaari nimero yu dëkkandoo, dafay fey 17:1.Jàng lépp → (ñaari nimero) dafay gañ $1.020, ba ci yeneen. Ginaaw ga waññal mën-mënu benn pari lu mu néew-néew gañ balaa xaalis bi jeex. Fukk ak juróom-benni straight up yu $30 ñépp dañuy génnul ak mën-mën (36/37)¹⁶ = 64,5%, kon dañuy agsi ci $1.000 35,5% ci yoon yi.
Taabal bi dafay wone pari bu nekk. Xonq moo gën ndax dafay agsi ci benn pari, kon njariñ bi benn yoon lañu koy fey, ci $500. Six linepariSix lineJuróom-benni nimero ci ñaari rëdd yu dëkkandoo, dafay fey 5:1. Ci Farañse: sixain.Jàng lépp → (juróom-benni nimero) moo topp ndax ñetti pari rekk la soxla. Benn pari ci dosenpariDosen1–12, 13–24 walla 25–36, dafay fey 2:1.Jàng lépp → mooy bi gën a bon, mën-mën bu 12/37; ba ci bu ñu ko fowee ak cërxaalisCërXaalisu pari bu njëkk bi doxalin walla fowkat di jëfandikoo. Yokkute yi ci cër lañu leen di wax ngir ñu mën a jëfe ci bépp taabal.Jàng lépp → yu $250 ba nga am $1.000 walla lu ëpp, dosen bi dafay agsi 46,4% ci yoon yi rekk.
Bollman (2024) dafay tabax benn taabal bi ngir wëndelukaayu Amerig. Rëddu dosen bi ci moom am na benn njuumte: war na doon 12/38 = 31,6%.
parixaalisu pari × limu pari yimën-mënu agsi ci $1.000
Straight up$30 × 1635,5%
Split$60 × 835,9%
Street$90 × 534,5%
Corner$125 × 436,7%
Six line$166, $166, $16841,2%
Dosen$500 × 132,4%
Xonq$500 × 148,6%
Dangay teg benn cër ci xonq, wëndelu ginaaw wëndelu, ak xaalisu foxaalisXaalisu foMboolem xaalis bi ñu wàccal fo. Saytu xaalisu fo mooy tànn ñaata ci nga mën a sànk ci pari bu nekk ak ci diiru fo bu nekk.Jàng lépp → bu du jeex mukk. Ginaaw wëndelu bu njëkk bi, dangay gañ benn cër walla ñàkk benn cër. Lan mooy mën-mënu nga mës a dellu yem dëgg-dëgg?
Wone tontu bi
Tontu 36 ci 37, 97,3%. Ci wëndelukaayu Amerig, 36 ci 38 la, 94,7%.
Su wëndelu bu njëkk bi gañee (18 yoon ci 37), dangay gañ benn cër, te njariñ bi dafay wàcce diiru fo bu nekk bu amul dig, kon léegi léegi dinga jaarati ci yem: loolu wóor na. Su ñàkkee (19 yoon ci 37), fàww nga yéeg benn cër, te mën-mënu mës a gañ benn cër mooy 18/19 (xoolal taabal bi ci kaw).
Ñaar yépp: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Ci lu yaatu, mën-mën bi mooy 1 wàññi diggante mën-mënu gañ ak mën-mënu ñàkk benn wëndelu: 1 − 1/37 ci wëndelukaayu Tugal, 1 − 2/38 ci bu Amerig. Ci fo bu amul seerowëndelukaaySeeroBenn pax bu wert bi benn pari benn ci benn, dosen walla kolon du làmboo; mooy cosaanu njariñu kaasino. Ñu koy wax itam: benn seero, 0.Jàng lépp →, diggante bi dara la te mën-mën bi 1 la: njureef bi saa su nekk dafay dellu ci yem. Epstein (2013) dafay joxe sàrt bu yaatu bi.
Jafe-jafe bu Pascal bu 1656: ñaari fowkat dañuy sànni ñetti dé, ku nekk tàmbali ak 12 jetoŋ. 11 bu nekk dafay jàllale benn jetoŋ ci fowkat bu njëkk bi, 14 bu nekk dafay jàllale benn ci ñaareel bi; yeneen sànni yi limuñu. Ñaata la fowkat bu njëkk bi mën a gañ 24 yépp? Te su fekkee dangay teg 1 cër ci xonq ci wëndelu wu nekk ci kanamu benn xarit buy def baŋk bi, 12 cër ku nekk, ñaata nga mën a gañ 24 yépp?
Wone tontu bi
Tontu Fowkat bu njëkk bi dafay gañ lu tollu ci 1.157 yoon ci 1.158. Yow, ci xonq, doo gañ 24 cër yépp lu dul lu tollu ci 34% ci yoon yi.
Ñetti dé dañuy def 11 ci 27 yoon te 14 ci 15 yoon, kon jetoŋ bu nekk buy jàll dafay dem ci fowkat bu njëkk bi 27 yoon ci 42, 9 yoon ci 14. Bu wàll wu nekk tàmbalee ci 12, mën-mënu jël lépp mooy 1/(1 + r¹²), fu r di diggante mën-mënu beneen wàll bi ak sa bos.
Ngir fowkat bu njëkk bi r = 5/9, te (5/9)¹² ≈ 0,00086, kon mën-mën bi lu tollu ci 0,99914 la: kot bu 9¹² ci 5¹², walla 282.429.536.481 ci 244.140.625, lu tollu ci 1.157 ci 1. Huygens móol na lim yooyu dëgg-dëgg ci 1657.
Ci xonq, r = 19/18 ndax seero bi, te (19/18)¹² ≈ 1,913: sa mën-mën mooy 1/2,913 ≈ 34,3%. Xaalis bu ñu sànni dina jox 50%. Njariñ bu 2,70% bi ci pari bu nekk dafay boolewu, ci pari yu bare yi mu laaj, ba am diggante bu 16 poent.

Ngistal ngir ree

$Fo bu fit moo gën. Te dafay gaaw a jeex itam.$

Fo bu fit moo gën. Te dafay gaaw a jeex itam.

Cosaan yi

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, móolu 3, 1968. Gambler’s ruin, saar XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Bataaxal bu mu yónne Huygens, 28 Settàmbar 1656, ci jafe-jafe bi Pascal jox Fermat. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, vol. 1, 1888, pp. 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Bind bu njëkk bu ñu móol ci njëg gi ñu séentu.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Saar 13, ruleet.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” Awril 2004.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” 12 Awril 2004.

ñu saytu ko 2026-09-28misaal: ruleetu Tugal, benn seerometodoloosi ↗cosaan yi ↗